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Vielen Dank für dein positives Feedback! 😊

Du willst den linksseitigen Grenzwert an der Stelle 0 von einem Quotienten bestimmen, der einen Betrag enthält. Schauen wir uns doch mal an, was für x < 0 gilt: Für x < 0 gilt |x| = -x. "Warum ist jetzt der Betrag negativ?", könnte man sich vielleicht fragen. Der Betrag ist aber gar nicht negativ, denn für x < 0 ist x negativ. Also ist -x positiv. Vielleicht komisch, weil da ein - steht, aber wenn zum Beispiel x = -6 gilt, dann folgt |x| = -x = -(-6) = 6 und der Betrag ist positiv. Das heißt also für x < 0 gilt x/|x| = x/(-x) = 1/(-1) = -1, wobei wir beim ersten Gleichheitszeichen die Aussage |x| = -x verwendet haben und danach x gekürzt, weil x < 0 ist. Ich hoffe, das beantwortet deine Frage, wenn nicht, dann gib gerne Bescheid! 😊

Sehr gerne! 😊

Sehr gerne! Danke für das positive Feedback! 😊

Das freut mich! Viel Erfolg beim Studium! 😊

Das freut mich sehr! Viel Erfolg beim Studium! 😊

Sehr gerne! 😊

Vielen Dank für das positive Feedback, das freut mich sehr! 😊 Das * über dem x ist einfach eine Möglichkeit einen neuen Buchstaben bzw. eine neue Variable zu schaffen. Oft nennt man ein bestimmtes Element aus R statt x deshalb x*, weil man den Buchstaben x bzw. die Variable x noch als freie Variable haben will. Frei heißt, dass x kein fester Wert zugewiesen wird. Man darf sich von dem x* nicht verwirren lassen. Das * ist KEINE Operation oder ähnliches, die auf x angewendet wurde, sondern x* ist eine völlig andere Variable. Man könnte statt "x*" auch einfach "Elefant" oder "Tannenbaum" sagen und 🐘 oder 🎄 als Variable nehmen, dann wäre deutlicher, dass die Variable nichts mit dem x zu tun hat. Ein x* erscheint da aber etwas seriöser und ist wesentlich gebräuchlicher. 😉 Ich hoffe, ich konnte helfen!

Die Antwort hat mir geholfen, weil ich ebenso auf dem Schlauch stand. Wo ich nach wie vor einen Knoten im Kopf habe ist die Formulierung x - x* < Epsilon. Für x und x* kann ich ja beliebige Werte verwenden. Ist Epsilon von x* aus gemessen? Du setzt quasi für x* die 1 ein und vorher hast du das Epsilon mit > 1 definiert. Dadurch ergibt sich der Radius um dieses x* von 1. Habe ich das so richtig interpretiert? Ist dieses x ohne Stern ist irgendwas aus der "Zone" zwischen x* und Epsilon? @

Es freut mich sehr, dass dir die Antwort weitergeholfen hat! 😊 Die Formulierung "Für x und x* kann ich ja beliebige Werte verwenden." gefällt mir nicht zu 100%. Du wählst am Anfang ein x* aus und das ist auch beliebig aus den reellen Zahlen wählbar, aber sobald du dir die Umgebung von x* anschaust, variiert es nicht mehr. Dann variiert nur noch x aus den reellen Zahlen und du schaust, ob es die Gleichung |x - x*| < Epsilon für das feste x* erfüllt. So gesehen könnte man sagen, dass das Epsilon von x* aus gemessen wird, genau. Wenn ich x* = 1 wähle und ein Epsilon > 1 wähle, dann sind auf jeden Fall alle Zahlen von 0 bis 2 enthalten, aber eventuell noch mehr, denn wenn mein Epsilon 100.01 ist, sind auch -99 und 101 noch enthalten. Genau, man kann quasi auch sagen, dass x aus der "Zone" zwischen x* und Epsilon ist. Man muss allerdings aufpassen, was man damit meint. Also wenn x* = 1 und Epsilon = 100.01 ist, dann liegt natürlich nicht jedes x zwischen 1 und 100.01, sondern -5 liegt auch noch in der "Zone" drin, weil x-Epsilon (hier ist Minus gemeint) die untere Grenze der Zone ist. Ich möchte abschließend darauf hinweisen, dass es natürlich extrem wichtig ist, sich solche anschaulichen Gedanken zu machen, um es zu verstehen, man aber auf solche "informellen" Formulierungen verzichten sollte, wenn es um Hausübungen, Klausuren, etc. geht. Die Definitionen sind exakt und auch in hunderten Jahren noch ohne weitere Erklärungen verständlich und korrekt. Sie sind aber "sperrig" formuliert, was den Zugang erschwert. Mein Kommilitone und ich haben an solchen Punkten immer zueinander gesagt: "Das darf man zwar auf überhaupt gar keinen Fall so sagen, aber eigentlich sehe ich das genauso". Ich hoffe, auch diese Antwort hilft dir weiter.

Vielen Dank!

Vielen Dank für die humorvolle, aber dennoch konstruktive Kritik. Ich werde zukünftig darauf achten, dass die Tonqualität besser wird! 😅 Es freut mich auf jeden Fall, dass dir mein Video weitergeholfen hat! 🙂

Vielen Dank! 🙂 Dazu gibt es bereits ein Video: Analysis 074 - für fast alle ruclips.net/video/x3F6G4yb7NM/видео.html Vielleicht hilft dir das weiter! 😉

Das ging mir früher auch so. Mit der Zeit kommt man da dann aber auch selbst drauf. 😉 Freut mich, dass dir mein Video weiter geholfen hat. 🙂

Die Körper Z/pZ bzw. F_p sind keine geordneten Körper. Es gilt zum Beispiel in F_p := {0,1,..,p-1} weder 0 = 1, 0 < 1 noch 0 > 1. 0 = 1 gilt nicht, weil es ein Körper ist. 0 < 1 kann nicht gelten, sonst bekomme ich auch 0 < 1 < 2 < ... < p-1< p = 0, was mit 0 < 0 offensichtlich ein Widerspruch ist. 0 > 1 kann nicht gelten, sonst bekomme ich auch 0 > 1 > 2 > ... > p-1 > p = 0, was mit 0 > 0 offensichtlich ein Widerspruch ist. Ich hoffe das hat dir geholfen! :)

Es freut mich sehr, wenn dir mein Video geholfen hat! :)

Epsilon ist eine Variable aus den reellen Zahlen mit dessen Hilfe man Konvergenz zeigt. Vielleicht hilft dir das Video zu konvergenten Folgen, wenn dir Epsilon gar nichts sagt: ruclips.net/video/ksZR5iFNZ1U/видео.html Ich hoffe das hilft, ansonsten frage gerne nochmal genauer! :)

Weil du nicht einfach so den Exponenten verändern darfst. Nehmen wir mal als Beispiel ein festes n = 2 an. Dann kannst du die Summe mit Index k von 1 bis n+1 über a^(n+1-k) bilden. Das heißt also die Summe mit Index k von 1 bis 3 über a^(3-k). Das ergibt also a^2+a^1+a^0. Wenn du beim Auseinanderziehen aber einfach den Exponenten auch kleiner machst, dann hättest du als hinteren Summanden weiterhin a^0 (weil wir ja die k = 3 = n+1 abspalten), aber der Rest der Summe wäre dann bei dir die Summe mit Index k von 1 bis n über a^(n-k), also die Summe mit Index k von 1 bis 2 über a^(2-k). Wenn du jetzt k einsetzt, dann bekommst du a^0 + a^1. Insgesamt bekommst du also a^1 + 2 a^0, also ein ganz anderes Ergebnis als a^2+a^1+a^0, was wir eigentlich wollten. Fazit: Dein n ist zwar an der Summe und auch im Exponenten das gleiche n, das ist aber trotzdem ein fixer Wert. Nur weil du es an einer Stelle auseinander ziehst, darfst du das nicht einfach blind auch an einer anderen Stelle mit machen. Ich hoffe das hat dir geholfen! :)

Vielen herzlichen Dank für dieses positive Feedback! :)

Es gibt einen Beweis dafür, dass der Grenzwert eindeutig ist. Und wenn (an) gegen a konvergiert müssen alle bis auf endlich viele an in einer Epsilon-Umgebung um a liegen, somit können nicht unendlich viele an in einer Epsilon-Umgebung um einen anderen theoretischen Häufungswertes b liegen. Deshalb gibt es nur einen Häufungswert a und keinen weiteren Häufungswert b. Ich hoffe das hilft! :)

Vielen Dank für dein positives Feedback. Es freut mich, dass dir das Video geholfen hat. 🙂

Vielen Dank für das tolle Feedback! :)

Du kannst dir überlegen, dass deine Aussage für an=-1/n leider nicht richtig ist. Wir haben eher benutzt, dass folgende Äquivalenz gilt: -a < x < a <=> |x| < a Das lässt sich schnell zeigen, du kannst es ja probieren, bevor du weiter liest. "=>" Angenommen x>=0, dann gilt |x|=x<a. Angenommen x<0, dann gilt |x|=-x<a wegen -a<x. "<=" Angenommen x>=0, dann gilt a>|x|=x>=0 und somit -a<0<=x=|x|<a. Angenommen x<0, dann gilt a>|x|=-x>0 und somit -a<x<0<a. Ich hoffe ich habe keinen Fehler eingebaut und die Erklärung hilft dir! Beste Grüße Lukas

Du kannst es dir auch anschaulich so vorstellen: a ist Augsburg und b ist Berlin. Dann ist der Abstand zwischen Augsburg und Berlin gerade |a-b|. Auf dem Zahlenstrahl ist es noch schneller zu sehen. Wähle zum Beispiel a=-5 und b=3, dann ist der Abstand |-5-3|=8. Es ist dabei egal, welche Zahl welchen Wert hat. Es gilt genauso |3--5|=|3+5|=8. Deshalb nimmt man erstmal |a-b|. Damit man den Abstand zwischen den Punkten kennt. Wenn du jetzt die Hälfte nimmst, dann befindest du dich bei der Epsilon-Umgebungen mit genau diesem Epsilon (also dem halben Abstand zwischen Augsburg und Berlin) genau in der Mitte zwischen Augsburg und Berlin. Du stehst also genau auf der Grenze und gehörst so gerade nicht mehr zur Epsilon-Umgebung um Augsburg und auch nicht mehr zu der um Berlin. So ein bisschen klarer geworden? Leider ist es nicht immer so einfach, das richtige Epsilon zu begründen, sondern man muss manchmal einfach ausprobieren und das nehmen, mit dem es funktioniert. Hinterher sieht es dann natürlich oft so aus, als wäre das Epsilon von Gott gegeben, aber es ist doch einiges an Überlegung reingeflossen. Beste Grüße Lukas

Vielen Dank für das Lob 😊

Das freut mich sehr.

Das freut mich sehr, dass meine Videos für Verständnis sorgen. Ich kenne an der Fernuni Hagen leider niemanden, dem ich das vorschlagen könnte. 😅

@ die Videos sind denen sicherlich noch zu einfach gehalten. Im Vergleich zum Script wäre das naheliegend. Leider...

Danke für das Lob!

Vielen Dank!

Vielen Dank für das positive Feedback!

Das freut mich wirklich sehr! :)

Vielen Dank für deinen motivierenden Kommentar! 😊 Es freut mich sehr, dass dir mein Video hilft!

Sehr gerne! Es freut mich, wenn es hilft. 🙂

Danke für das Lob! Das freut mich sehr, dass es dir gefällt! 😃

Vielen Dank für das positive Feedback! Das freut mich sehr!

Vielen Dank!! :)

Epsilon ist eine beliebige reelle Zahl, die größer ist als 0. Man braucht das Epsilon immer dann, wenn es um Konvergenz geht, weil es eine elegante und vor allem mathematisch korrekte Art und Weise ist, zu sagen: "Wenn ich lange genug warte, dann kommt die Folge ganz nah an einen bestimmten Wert, den Grenzwert, dran". Hilft dir das ein bisschen? 😊

@ Tausend Dank, hast du dir die Zeit für eine Erklärung genommen. Danke, ist jetzt verständlich ☺️

Das freut mich sehr! Ja, da hast du Recht, das ist wirklich schade, aber ich finde im Moment leider nicht die Zeit. Ich hoffe, dass ich mal wieder dazu komme. Würdest du dir dann noch mehr Analysis-Videos wünschen? :)

@ Das Semester hat erst begonnen und ich weiß noch nicht wie viel Analysis ich brauchen werde :) Schön zu sehen, dass du noch da bist!

Was man mit den Körperaxiomen so alles beweisen kann und wie man das macht, kannst du in den folgenden Videos sehen. Zum Beispiel die Eindeutigkeit von 0, 1 und Inversen, Nullteilerfreiheit oder das alles mit 0 multipliziert wieder 0 ergibt. Wichtig ist, dass man beim beweisen nicht denkt "das ist klar, das muss ich nicht zeigen", sondern nur die Regeln verwendet, die man hat (im Extremfall nur die Körperaxiome) und mit denen strikt logisch beweist. Ich hoffe das hilft dir weiter! :)

Das freut mich sehr!

Vielen Dank, das freut mich! 😊

Sehr gerne! Danke für das Feedback! 😀

Es freut mich, dass dir meine Videos gefallen. 😊 Ich hoffe auch, dass ich bald mal wieder mehr Zeit habe, Videos zu machen. In Analysis fehlen ja auch noch viele spannende Themen. 😃

Das freut mich sehr!

Vielen Dank! 😊

Vielen Dank! 😀

Wie m* konkret aussieht, das interessiert uns gar nicht und das können wir auch nicht sagen. Was uns interessiert ist, dass es solch eine natürliche Zahl m* gibt, die so groß ist, dass unser Beweis funktioniert. Die Existenz folgt aus dem Video "Analysis 065 - N ist unbeschränkt (mit Beweis)". Dort haben wir gezeigt, dass es für jede beliebige reelle Zahl eine natürliche Zahl gibt, die noch größer ist. Natürlich fällt die Ungleichung mit dem m* gefühlt erstmal vom Himmel, aber dass es mit diesem Argument funktioniert, das wurde ja im Anschluss gezeigt. Solange du dich nicht fragst, wie man auf den Beweis kommt, müsste dir das Argument von oben also eigentlich reichen. Würdest du den Beweis selbst suchen wollen, würdest du an eine Stelle kommen an der es gut wäre, wenn es eine natürliche Zahl gibt, die groß genug ist, dass es mit der Ungleichung passt. Dann würdest du die gezeigten Umformungsschritte in umgekehrte Richtung machen und merken, dass eine solche Zahl (nach Video 65) existieren muss. Ich hoffe das hat dir geholfen! Wenn nicht, dann frag gern nochmal genauer. :)

Vielen Dank, das freut mich! 😀

Vielen Dank für die sehr freundliche positive Rückmeldung! 😊